[Square One] Les maths et le Square one

[Salim]

Voilà une question me taraude depuis que j'ai mon Square-1 : pourquoi ça marche pas pareil que le Rubik's Cube? C'est à dire pourquoi y'a une parité de possible,...

Et aussi, comment calcule-t-on le nombre de combinaisons possibles?

Même si je sais que je vais pas comprendre grand chose aux réponses, ça m'éclairera un peu

(J'ai bien trouvé un lien qui semble parler de ça, mais bon c'est long et en anglais :/

[deadalnix]

Sur le cube ou le mega, on fait bouger un nombre fixe d'arêtes et de coins a chaque mouvement. Sur le cube, chaque mouvement génère une parité, sur le mega jamais.

Sur le square, le nombre d'arêtes et de coins bougés lors d'un mouvement dépend de la forme de celui-ci.

Pour générer/annuler une parité, il faut donc aller vers une forme qui convient, faire un mouvement et revenir a la forme cubique.

Sans la mesure ou il est possible d'échanger deux pièces, il faut prendre ccune des formes du square et considérer le nombre de permutation que l'on fait dessus pour avoir le nombre de cas total. Et multiplier le tout par deux pour la tranche du milieu.

[TMOY]

Bon, on va faire unn petit calcul, ce n'est pas très compliqué. Pour une forme donnée du square-1, il y a 8!=40320 positions possibles des coins, autant pour les arêtes et 4 pour la tranche du milieu. Le tout divisé par deux (symétrie axiale selon un axe vertical).
Ensuite, on compte le nombre de formes possibles pour chaque face. Il y en a une avec 6 sommets et aucune arête (l'étoile), 3 avec 5 sommets et 2 arêtes, 10 avec 4 de chaque, 10 avec 3 sommets et 6 arêtes, 5 avec 4 sommets et 8 arêtes. Ce qui donne, avec les contraintes sur le nombre d'arêtes de chaque côté:
1*5+3*10+10*10+10*3+5*1=170
formes possibles pour les faces du haut et du bas. Et 2 pour la tranche du milieu. On obtient au final:
40320 * 40320 * 2 * 170 * 2= 1 105 477 632 000
positions possibles. Soit beaucoup moins que sur le 3^3 en fait, comme quoi c'est facile en fait le square-1

[Piercy]

Bon, on va faire unn petit calcul, ce n'est pas très compliqué. Pour une forme donnée du square-1, il y a 8!=40320 positions possibles des coins, autant pour les arêtes et 4 pour la tranche du milieu.

Pourquoi quatre pour la tranche du milieu et pas deux ?

[deadalnix]

Et pourquoi diviser par deux pour la symétrie axiale ?

D'accord pour le carré, mais c'est loins d'etre le cas de toutes les formes . . .

De même, si on a dexu formes carrées, on divise par 4 . . .

Mais cela ne suffit aps car il y a les identitées par rotation . . . Soit une division par 4 pour chaque face carrée. 6 pour l'étoile. 2 Pour le "barrel", etc . . .

[TMOY]

OK je vois. En fait il faut compter toutes les formes en considérant comme différentes deux formes qui sont une rotation l'une de l'autre. Donc multiplier par 12 puis diviser par ce que tu dis. Du coup plus besoin de se préoccuper de symétrie axiale, et on ne considère alors plus que deux positions pour la tranche du milieu (la position résolue et celle avec cas de parité).

[deadalnix]

Pourquoi multiplierait-on par 12 ? oO

[TMOY]

Une face a douze positions différentes possibles. Si tes faces n'ont aucune symétrie tu obtiens douze formes différentes rien qu'en faisant des mouvements de U...

[deadalnix]

A ouaip, mais on aprles pas de la même chose la du coup

Moi je considere les positions modulo U et D, donc oui, si tu considere ces positions comme différentes, alors il y a bien a multiplier par 12.

Mais peut on considerer des positions dans lesquelles le cube ne tourne pas comme valides ?

[TMOY]

Si on ne considère que les positions à partir desquelles on peut faire un /, je soupçonne confusément que le calcul devient vraiment ignoble, et je ne me lancerai pas dedans...

[deadalnix]

Il faut ressencer pour caque forme le nombre de ligne transverse dont elle dispose dans les deux sens (carré : 8, étoile : 6, barrel : 8, etc . . .) et multiplier par ce nombre, puis diviser par les invariants par rotations (carré : 4, étoile : 6, barrel : 2). C'est sympa non ?

Une fois le coeff calculé pour chaque forme, on a plus qu'a les associer deux par deux et multiplier par 8!^2*2 (le *2 pour la tranche centrale).

Exemple pour le carré - barrel :
(8!^2)*2*8/4*8/2 = 16*(8!^2) .

[TMOY]

J'ai trouvé un moyen un peu moins bourrin d'attaquer le calcul.
En fait, il ne faut pas raisonner par faces mais par demi-faces. Il y a quatre demi-faces, chacune peut avoir les configurations suivantes:
- 3 sommets, pas d'arête: une seule forme possible;
- 2 sommets, 2 arêtes: 6 formes possibles;
- 1 sommet, 4 arêtes: 5 formes possibles;
- pas de sommet, 6 arêtes: une seule forme possible.
La répartition des sommets entre les demi-faces est donc nécessairement de l'une des quatre formes suivantes (modulo permutation entre les demi-faces): (3,3,2,0), (3,3,1,1), (3,2,2,1), (2,2,2,2). Il faut donc considérer ces quatre cas séparément:
- (3,3,2,0): 12 permutations possibles, donc 12*1*1*5*1=60 formes possibles (je considère deux formes qui ne diffèrent que par une rotation du cube ou un mouvement de U ou de D comme différentes);
- (3,3,1,1): 6 permutations possibles, donc 6*1*1*5*5=150 formes possibles;
- (3,2,2,1): 12 permutation possibles, donc 12*1*6*6*5=2160 formes possibles;
- (2,2,2,2): une seule permutation possible, donc 1*6*6*6*6=1296 formes possibles.
Ce qui donne en tout 3666 formes possibles (sans tenir compte de la tranche du milieu). Le nombre de configurations est alors de:
3666*(8!)^2*2=11 919 649 996 800 (1.1*10^13).

[Salim]

J'ai compris le début du truc ; les trucs de la forme (3;3;2;0), c'est (demi-face en haut à gauche ; à droite : demi face en bas à gauche ; à droite) ?

Dans ce cas, pourquoi le cas (3;1;3;1) n'est pas possible?

Et je comprend mal le terme permutation ici : une fois qu'on a les différentes formes possibles, on considère les permutations (de coins) dans chaque demi-face? Ou bien je suis totalement à coté?

[TMOY]

Les quatre cas que je considère sont modulo permutation des nombres de sommets entre les demi-faces. Donc le cas (3,1,3,1) est identique à (3,3,1,1). Comme je l'indique par la suite, il y a six permutations, qui sont: (3,3,1,1), (3,1,3,1), (3,1,1,3), (1,3,3,1), (1,3,1,3) et (1,1,3,3).

[Salim]

Ahhhh d'accord.

Donc Ok pour le nombre de configurations (en outre, j'arrondirais plutôt à 1,2.10^13).

Le ^2 est pour appliquer ceci aussi aux arêtes?