Nombres de cas

[Watman]

Alors voilà je me demandais comment calculer le nombre de cas possible pour les étapes d'un rubik's cube ?
Par exemple quel est le calcul permettant de trouver qu'il n'y a que 57 cas d'OLL ou 42 cas de COLL ?
Le truc c'est que je ne sais pas comment faire pour exclure les positions et/ou orientation impossible et les doublons

[Philfully]

Déjà, tu peux considérer la règle qui veut que si l'orientation de 3 coins est fixée, le 4ème l'est aussi. Idem pour les arêtes.

Ceci implique que tu as 3x3x3=27 orientations possibles pour les coins et 2x2x2=8 pour les arêtes.

Donc un total de 216 orientations possibles pour le LL.

Cependant, il y a d'une part le cas où tout est orienté comme il faut à retirer, ce qui fait 215, puis il faut retirer, comme tu l'as fait remarquer, tous les doublons. Là, c'est plus embêtant car certaines OLL comptent pour 4 (4 arêtes désorientées) et certaines pour 2 (2 arêtes opposées désorientées). Je crains qu'à part une liste exhaustive, il soit délicat de trouver un calcul permettant de faire ça de façon simple.

[Watman]

Merci...

Et donc pour la permutation le calcul des coins ressemblerai à 4*3*2*1 ? Et pareil pour les arêtes ? Soit 24*24, 576 possibilités ? Mais cela me parait énorme je dois sûrement faire une erreur

[TMOY]

Pour l'orientation, l y a moyen de simplifier un peu le calcul, quand même, en séparant par cas d'orientation des coins:
- tous les coins sont orienrés: 4 cas d'orientation d'arêtes (aucune, 2 adjacentes, 2 opposées, les 4);
- cas H sur les coins: les cas à 2 arêtes mal orientées sont dédoubliés, ce qui fait donc 6 cas;
- les 6 autres cas: aucune symétrie, donc 8 cas possibles sur les arêtes pour chacun.
Ce qui fait 4+6+6*8=58, ou 57 si on ne compte pas le skip.

[Watman]

Pour l'orientation, l y a moyen de simplifier un peu le calcul, quand même, en séparant par cas d'orientation des coins:
- tous les coins sont orienrés: 4 cas d'orientation d'arêtes (aucune, 2 adjacentes, 2 opposées, les 4);
- cas H sur les coins: les cas à 2 arêtes mal orientées sont dédoubliés, ce qui fait donc 6 cas;
- les 6 autres cas: aucune symétrie, donc 8 cas possibles sur les arêtes pour chacun.
Ce qui fait 4+6+6*8=58, ou 57 si on ne compte pas le skip.

Le truc c'est que tu peux dire cela car d'autres ont auparavant dressé une liste de tous les cas d'orientation de coins possibles et ont remarqué que certains cas ont un axe de symétrie voir deux, nan ?

[TMOY]

Le truc c'est que tu peux dire cela car d'autres ont auparavant dressé une liste de tous les cas d'orientation de coins possibles et ont remarqué que certains cas ont un axe de symétrie voir deux, nan ?

Ce n'est pas parce que certains appliquent une solution bourrine qu'on ne peut pas en trouver de plus intelligentes, hein

[Watman]

C'est vrai, mais la démarche pour trouver la "solution intelligente" n'est pas toujours évidente.
Je demande donc encore tes conseils grand manitou de la "solution intelligente" pour éclairer ma lanterne de pauvre bourrin à propos des PLL...
Ou si n'importe qui en a une je suis preneur ^^ (sans mauvaise interprétations s'il vous plaît)

Édit : enfaite je vais d'abord essayer seul ce soir, et sinon je redemanderai votre aide. Merci

[Spols]

La solution intelligente commence comme celle décrit par Philfully

Dans un projet, j'ai défini chaque position de cube (je simplifie au dernier étage)
(0,1,2,3)(0,1,2,3)(0,0,0,0)(0,0,0,0)
chaque parenthèse représente :
-la position des arêtes
-la position des coins
-l'orientation des arêtes (soit 1 soit 0)
-l'orientation des coins (soit 0, soit 1 soit 2)
Note : -1 signifie aucune importance
x signifie inconnu mais important

De tous les cas possible d'un pattern d'OLL par exemple
(-1,-1,-1,-1)(-1,-1,-1,-1)(x,x,x,x)(x,x,x,x)
on obtient 2*2*2*2*3*3*3*3 cas possibles
on filtre les cas impossibles
ensuite on boucle sur les cas, on les transforme avec les 16 symétries
(4 pour l'incertitude de la face U multiplié par 4 sur l'incertitude de l'orientation du cube en entier)
et on élimine tous les cas en double.
On récupère ainsi les 58 cas d'OLL par exemple
J'ai des fonction PHP pour les filtrages, je dois pouvoir les retrouver si besoin.

Les 16 symétries se simplifie facilement pour les OLL en 4 symètries mais j'ai concu le système pour tout les set de LL et les set de F2L donc je prends en compte beaucoup plus de chose inutile si on se limite aux LL ou au OLL

Les symétries du type PLL R et Rsym ne sont pas prise en compte, on a parfois des séquences complètement différentes pour les résoudre.

[Watman]

Merci de ta réponse, après ce n'est pas vraiment la solution intelligente ^^ c'est plutôt un mode bourrin épaulé par un ordinateur ^^
Et sinon je n'ai pas vraiment besoin de tes fonction, je demandais plus ça pour ma culture "cubesque"
Et donc en cherchant les 21 cas de PLL, j'en suis arrivé à me demander pourquoi on ne peux pas seulement intervertir deux pièces. En effet il n'y a aucun cas de PLL qui échange seulement deux pièces et je me demandais pourquoi.

[Arsonist]

Y'a beaucoup, beaucoup de trucs qui doivent se brute forcer modulo des symétries dans la catégorie "nombre de cas"

[Philfully]

Et donc en cherchant les 21 cas de PLL, j'en suis arrivé à me demander pourquoi on ne peux pas seulement intervertir deux pièces. En effet il n'y a aucun cas de PLL qui échange seulement deux pièces et je me demandais pourquoi.

Là, on démontre assez facilement à l'aide de la théorie des permutations que ce n'est pas possible.

On a déjà dû en parler mais rapidement :

Si tu prends une permutation quelconque d'un ensemble fini, ta permutation peut se décomposer en transpositions (c'est-à-dire un échange de 2 éléments seulement). Par exemple, si tu prends trois éléments notés 1, 2 et 3 et que tu veux les faire cycler de cette façon : 1 est remplacé par 2, 2 par 3 et 3 par 1, tu peux décomposer ce cycle en deux échanges : tu échanges 2 et 3 puis tu échanges 1 et 2.

De façon générale, si tu veux faire cycler n pièces, tu peux le faire en n-1 transpositions (se démontre facilement par le même genre de "découpages" que proposé ci-dessus).

Regardons maintenant ce qui se passe lorsqu'on fait tourner une face d'un cube. Les coins réalisent un cycle de 4 pièces. Les arêtes aussi. Ce qui importe ici, c'est le fait que les deux permutations, celle sur les coins et celle sur les arêtes se décomposent chacune en un nombre impair de transpositions (3 puisqu'on fait cycler 4 pièces).

Si tu réalises à présent deux rotations, tu vas empiler deux nombres impairs de transpositions. Tu obtiendras donc un nombre pair autant pour les coins que les arêtes. Peut-être certaines transpositions s'annuleront mutuellement, mais on s'en fiche, la parité est respectée.

On comprend donc que, quels que soient les rotations qu'on effectue, la parité du nombre de transpositions est identique pour les coins et les arêtes.

Ainsi, il n'est pas possible de n'échanger que deux coins car cela correspond à une transposition de coins et zéro pour les arêtes et un et zéro n'ont pas la même parité.

J'espère avoir été assez clair. J'ai volontairement évité la formalisation. Dis-moi si tu as compris.

[Watman]

D'accord, il suffit de respecter une parité, c'est plutôt facile.
J'avoue avoir mis un peu de temps pour comprendre à cause des PLL H,Z et E qui échangent 4 coins mais qui "ne respectent pas la parité" (si on suit la logique du pour faire cycler n pièces, il faut n - 1 permutations). Mais ensuite j'ai branché mon cerveau et je me suis aperçu quelles échangeaient 4 pièces mais en seulement 2 permutations, donc tout est rentré dans l'ordre.
Merci et sinon ne t'inquiète pas c’était clair et expliqué de manière simple