[4x4x4] Centre du groupe du cube 4×4×4

[nicola]

Je rappelle que le centre d'un groupe est son sous-groupe constitué des éléments qui commutent avec tous les autres.
Le centre du groupe du cube 3×3×3 est constitué de l'identité et du mouvement qui permute toutes les arêtes.
Je me demandais quel était le centre du groupe du cube 4×4×4. Je pense qu'il contient celui du cube 3×3×3 mais à part ça ?

[TMOY]

Perdu, le "superflip" du 4^3 ne commute pas avec les mouvements de tranche intérieure.
En fait le centre est trivial. En effet un élément du centre doit d'une part tout laisser en place (parce que le centre des divers groupes de permutations est trivial), et d'autre part orienter de la même façon toutes les pièces d'un même type. Or les seules pièces possédant plusieurs orientations sont les coins et la seule façon de tous les orienter de la même façon est de préserver leur orientation; donc notre élément est forcément l'identité.

[nicola]

Certains centres ne sont pas triviaux. Celui de S2 (pour les éléments d'ordre 2) est S2.
Sinon, on pourrait avoir un mouvement qui change de place les arêtes ou les centres (qui les échange deux à deux par exemple), mais sans qu'on puisse le voir.
Les arêtes aussi peuvent avoir une orientation, non ?
En fait, ton explication ne m'a pas convaincu.

[TMOY]

Les groupes qui interviennent sont S8 (pour les coins) et S24 (pour les arêtes et pour les centres), et ceux-là ont bel et bien des centres triviaux.
Les arêtes n'ont pas d'orientation. Essaie d'en sortir une et de la remettre à l'envers, tu verras que tu n'y arriveras pas. Par ailleurs, si on échange deux arêtes de mêmes couleurs, on inverse la position des stickers, donc pas d'échange invisible possible.
Pour les centres, il faudrait que ton échange invisible commute avec tous les mouvements de tranche intérieure, donc que deux centres échangés soient forcément toujours soit tous les deux sur la tranche soit tous les deux en dehors. Il est facile de voir que ça ne marche pas, à l'état résolu pour toute paire de centres identiques il y a toujours une tranche qui contient l'un et pas l'autre.

[nicola]

Pour les positions, oui, mais pour les orientations, on a plutôt des Z/2Z pour les arêtes et des Z/3Z pour les coins, et là les centres sont carrément le groupe entier.
Je n'ai pas essayé de démonter mon cube, je le trouve déjà fragile.
Tu veux dire que contrairement au cube 3×3×3 on ne peut pas remonter une seule arête à l'envers ? Je me doute que pour une simple raison de parité on ne peut pas revenir à la position standard, mais là tu dis que c'est mécaniquement impossible de le monter ainsi ?
Je pense avoir compris le problème, merci.