Probabilités d'apparition des ZBLL, et même plus !

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Cubeur-manchot
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Probabilités d'apparition des ZBLL, et même plus !

Message par Cubeur-manchot »

Je suis tombé accidentellement sur cette page qui recense les probabilités d'apparition des ZBLL, et à fortiori des COLL et des PLL.
Ces probabilités d'apparition sont calculées au sein des ZBLL, qui pour rappel ont une probabilité d'apparition de 1/8 au sein de tout l'ensemble des cas du dernier étage.

Je ne sais pas si le set est complet, mais il en a l'air. En sommant toutes les probabilités on n'arrive sûrement pas à 1 puisqu'il doit y avoir un arrondi à chaque fois, il faudrait prendre directement les fractions.



Ça c'était pour la partie "Probabilités d'apparition des ZBLL", maintenant la partie ", et même plus !".

Ces probabilités sont calculées au sein des ZBLL, et les ZBLL ont une probabilité d'apparition de 1/8 au sein de l'ensemble de tous les cas du dernier étage. Ainsi, en divisant par 8 la probabilité d'apparition d'un cas au sein des ZBLL, on obtient sa probabilité d'apparition au sein des 1LLL.
Pour obtenir la probabilité d'apparition d'un cas au sein du cas de COLL, il suffit de diviser sa probabilité d'apparition des ZBLL par la probabilité d'apparition du cas de COLL au sein des ZBLL. Par exemple pour la PLL V : probabilité d'apparition de la PLL V au sein des 1LLL = probabilité d'apparition de la PLL V au sein des COLL 0D / probabilité d'apparition des COLL 0D au sein des ZBLL = 0.21/3.70 = 0.057, boum !
Pour obtenir la probabilité d'apparition des PLL au sein des 1LLL ça marche pareil, il suffit de diviser la probabilité d'apparition des COLL 0D par 8, ce qui donne 3.70%/8 = 0.925%. Même chose pour n'importe quel cas d'OCLL, même chose pour n'importe quel cas de COLL.


Maintenant on va faire plus fort : la probabilité d'apparition de n'importe quel cas parmi tous les 1LLL.
Pour les ZBLL on sait déjà faire.
Pour les ZBLLEF (les ZBLL avec les 4 arêtes mal orientées), en fait c'est exactement la même chose, c'est la même probabilité que si les arêtes étaient orientées. Cela vient du fait que le cas pur des 4 arêtes commute avec tous les 1LLL (de la même manière que le superflip commute avec n'importe quel algo).

Pour les cas de 1LLL avec 2 arêtes mal orientées, c'est plus compliqué. En fait, pas tant que ça. Il y a 2 catégories de cas :
- les cas dont l'orientation n'a aucune symétrie par rotation de 180° (ça représente la plupart des cas, par exemple le cas donné par F U R U' R' F' R U2 R' U' R U' R') : catégorie A
- les cas dont l'orientation a une symétrie par rotation d'angle 180° (par exemple l'OLL n°55) : catégorie B

Pour la catégorie A, la probabilité d'apparition au sein des 1LLL vaut exactement la probabilité d'apparition de la ZBLL associée (le même cas de 1LLL auquel on a orienté les arêtes sans rien toucher d'autre) au sein des 1LLL. Pour exemple, prenons un cas d'OLL assez classique (R' U' F U R U' R' F' R), ce cas ne présente aucune symétrie de rotation par 180% donc il suffit que je prenne la probabilité de la ZBLL associée (ZBLL n°402 sur la page dont j'ai donné le lien) donc 0.21% divisé par 8 = 0.026% d'apparition de ce 1LLL parmi les 1LLL. Trop facile.

Pour la catégorie B, il n'y a en fait pas beaucoup, puisqu'on doit avoir deux arêtes mal orientées opposées et une orientation H ou O, ce qui correspond uniquement aux OLL n°55, 56 et 57.
Pour les orientations O, il suffit de prendre la probabilité d'apparition de la PLL associée (la PLL obtenue en orientant les deux arêtes sans toucher au reste) au sein des ZBLL puis de la diviser par :
- 4 si c'est une PLL H, Z, Na, Nb ou un PLL skip
- 8 sinon
Par exemple une PLL A avec 2 arêtes désorientées, ce cas a une probabilité de 0.21%/8 = 0.026% au sein des 1LLL. Le cas pur avec 2 arêtes opposées mal orientées a une probabilité de 1/72 (proba de PLL skip) * 3.70% (proba d'OCLL O) /4 = 0.013% d'apparition au sein des 1LLL.
Pour les orientations H, là je ne suis pas certain. Pour moi il faut partir de la probabilité d'apparition de la PLL associée au sein des PLL, et la multiplier par :
- 2/27 * 1/8 si c'est une PLL H, Na, Nb ou un PLL skip
- 1/27 * 1/8 sinon
Le 1/8 donne la proba d'apparition de l'OLL 55 ou 56 sachant l'orientation H des coins. Le 1/27 ou 2/27 donne la proba d'apparition de l'orientation H.


Après avoir corrigé les éventuelles coquilles (qu'il doit sûrement y avoir, aucun manchot n'est parfait), on aura de quoi calculer la probabilité d'apparition de n'importe quel cas au sein des 1LLL. Et même au sein de pas mal de ses sous-ensembles :smt023:
Modifié en dernier par Cubeur-manchot le jeu. août 17, 2017 9:11 am, modifié 1 fois.

Nameless
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Message par Nameless »

Cas non-symétriques : 3864 * 1/3888
Cas avec un axe de symétrie : 44 * 1/7776
Cas avec deux axes de symétrie (Résolu, H, N et les cas similaires de 4-flip) : 8 * 1/15552
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Re: Probabilités d'apparition des ZBLL, et même plus !

Message par Cubeur-manchot »

Nameless a écrit :
mer. août 16, 2017 4:11 pm
Cas avec un axe de symétrie : 44
Comment tu as obtenu ce nombre ?
EDIT : à part en énumérant les cas d'orientation possibles avec les permutations H, T, F et skip
Re-EDIT : parce que justement rien que pour les permutations T il y a 9 cas d'orientations de coins et 4 cas d'orientations d'arêtes, ce qui fait 36 cas, et autant pour les permutations F, donc on dépasse déjà le quota des 44. Ou alors on ne parle pas de la même chose ?

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Re: Probabilités d'apparition des ZBLL, et même plus !

Message par Nameless »

Par énumération, oui. En sachant qu'il y a 8 algos à 1/15552, et 3916 algos au total, une petite équation à une inconnue permet de trouver les deux autres nombres de cas.

Mais "un axe de symétrie" n'était pas ce que j'aurais du dire (La PLL Y par exemple a un axe de symétrie mais est dans le groupe 1/3888). Je parle des algos qui se résolvent de la même manière avec un U2 comme la PLL Z.
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Re: Probabilités d'apparition des ZBLL, et même plus !

Message par Cubeur-manchot »

D'accord je comprends mieux, en fait c'est plutôt un centre de symétrie puisque c'est une symétrie de rotation ;)

Et du coup le simple fait de dire "le cas se résout avec le même algo selon 1, 2 ou 4 angles" permet d'affirmer que la probabilité d'apparition est exactement 4, 2 ou 1 fois 1/15552 ? Ça me paraît bizarre que ce soit si beau

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Re: Probabilités d'apparition des ZBLL, et même plus !

Message par Pyjam »

Cubeur-manchot a écrit :
mer. août 16, 2017 5:24 pm
Et du coup le simple fait de dire "le cas se résout avec le même algo selon 1, 2 ou 4 angles" permet d'affirmer que la probabilité d'apparition est exactement 4, 2 ou 1 fois 1/15552 ? Ça me paraît bizarre que ce soit si beau
C'est ce dont nous parlions hier soir à propos des cas d'orientation de coins. La proba pour le cas H est 2/27 seulement parce qu'il n'y a que 2 orientations possibles pour une H.
Ce qui semble logique : tous les cas d'orientations possibles de coins sont équiprobables et quand on dresse la liste des 27 cas possibles, on ne voit que 2 cas de H, tandis que les autres cas sont présents 4 fois : 1 fois avec chacune des 4 orientations possibles.

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Re: Probabilités d'apparition des ZBLL, et même plus !

Message par Cubeur-manchot »

Ok ok !
Je suis quand même impressionné qu'il suffisse de faire (algo) U2 (algo)' et (algo) U (algo)' pour connaître la probabilité d'un cas (et aussi de son inverse et de toutes leurs symétriques mais ça c'est normal)

Moi j'étais tombé complètement par hasard sur cette page, j'étais tout fier, tant pis :P

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