Notions Mathématiques du Rubik's Cube

[OussNorris]

Bonjour à tous, et tout d'abord, un énorme merci pour tout le soin apporté à votre site pour la clarté et les infos "autour" du Cube, c'est extrêmement plaisant!
J'espère être au bon endroit pour le sujet et il me semble que ça n'a pas encore été posté..
En fait dans la partie dénombrement, il me semble que le nombre d'algorithmes n'est pas 18*15^n mais 18*15^(n-1) sous réserve d'existence (donc pour n supérieur à 2).
(Tout cela n'exclue bien sur pas les algorithmes comportant tout de même des aberrations (type UDU'D' ou les autres repassant par le point de départ).

Merci énormément!!

[OussNorris]

Bien le bonjour à tous!
Je me suis un peu penché ce soir sur le dénombrement des algorithmes en supprimant les aberrations évoquées dans mon premier message... Je tombe donc sur une formule générale de type (pour n mouvements et sous réserve d'existence,) :
18x( 1x12^n + nx3x12^(n-1) + ((n-2)(n-1)/2)x3^2x12^(n-2) + [somme pour i de 1 à n-4 de [somme pour j de 1 à i]](de j) x 3^3x12^n-3 + [somme pour i de 1 à n-6 de [somme pour j de 1 à i de [somme pour k de 1 à j]](de k)3^4x12^n-4 (...) Et ainsi de suite. )

(Pour "((n-2)(n-1)/2)x3^2x12^(n-2)" il s'agit en fait de "[somme pour i de 1 à n-2](de i)")

Voilà, si quelqu'un est intéressé par ce type de manœuvres mathématiques, je serais, bien que n'ayant pas un bien haut niveau, ravi de converser et partager un peu!
(Désolé pour la pénible lisibilité de la formule, il faudrait que j'insère quelques "sigma" dans tout ça!)

[Alype]

Salut !
je fais justement un travail de fin de collège sur les mathématiques du cube. Je trouve ça vraiment passionnant, et en ayant vu ton post je me demandais si tu pouvais m'aider ; est ce que tu saurais m'expliquer comment trouver l'ordre d'une manoeuvre ? parce que je comprends que l'ordre de U est égal a 4 ou que l'ordre de U2 est égal a 2, mais je ne saisi pas pourquoi l'ordre de H2D2 est égal à 6...
ça fait longtemps que je me creuse la tête en vain...je sais pas si j'ai été claire, merci en tout cas.

[Akala]

Je vais faire simple : le calcul de l'ordre d'un élément d'un groupe est loin d'être "simple", au sens où ce n'est pas une bête formule à appliquer, mais un ensemble de calcul assez longs, et demandant en particulier de connaitre la décomposition en facteur premier de l'ordre du groupe. Il me semble qu'elle est connue pour l'ordre du cube, seulement elle doitêtre particulièrement longue, alors le calcul d'ordre risque d'être assez long à implémenter...
Si tu as étudier un peu la théorie des groupes tu as dut le voir pourtant.. C'est ce genre de chose dont je parlais sur ton autre topic en disant "manque de recul" mais ce n'est pas completement péjoratif attention, je trouve ça impressionnant de vouloir se mettre à la théorie des groupes en fin de collège !!

[TMOY]

Je vais faire simple : le calcul de l'ordre d'un élément d'un groupe est loin d'être "simple", au sens où ce n'est pas une bête formule à appliquer, mais un ensemble de calcul assez longs, et demandant en particulier de connaitre la décomposition en facteur premier de l'ordre du groupe.

Ah bon, depuis quand ?

Dans le cas du groupe du cube, l'ordre d'un élément, c'est le ppcm des longueurs de ses cycles, point barre. Une fois qu'on a compris la notion de cycle le reste n'a vraiment rien de sorcier.

[Akala]

Bin la méthode de calcul d'ordre d'élément d'un groupe que je connais utilise ça, si ya d'autres méthodes autant pour moi, je suis loin d'être expert.

[OussNorris]

Salut salut!!
Désolé de ma réponse tardive, je suis assez peu disponible!

En fait, l'ordre d'un élément est le nombre de fois que l'on doit le répéter pour retourner à son point de départ. Ainsi, une multiplication par -1 est d'ordre 2 et une multiplication par i est d'ordre 4 (et une multiplication par 1 est d'ordre 1 !!)

Du coup, une manoeuvre du cube en déplaçant une face une fois est d'ordre 4 car en l'effectuant 4 fois, on revient au point de départ. Pour un demi-tour c'est 2 etc.

En espérant t'avoir éclairé(e)

[Philfully]

Salut !
je fais justement un travail de fin de collège sur les mathématiques du cube. Je trouve ça vraiment passionnant, et en ayant vu ton post je me demandais si tu pouvais m'aider ; est ce que tu saurais m'expliquer comment trouver l'ordre d'une manoeuvre ? parce que je comprends que l'ordre de U est égal a 4 ou que l'ordre de U2 est égal a 2, mais je ne saisi pas pourquoi l'ordre de H2D2 est égal à 6...
ça fait longtemps que je me creuse la tête en vain...je sais pas si j'ai été claire, merci en tout cas.

Je pense qu'elle a compris ce qu'est l'ordre mais qu'elle voudrait comprendre comment on peut prouver que l'ordre de U2R2 est 6.

Si, comme le suggère Tmoy, tu décomposes U2R2 en cycles, tu tombes sur deux 3-cycles de coins, un 3-cycle d'arête et deux 2-cycles d'arêtes. Le PPCM de 3 et 2 est 6. Donc l'ordre est 6. C'est facile une fois qu'on a fait la décomposition.

Pour réaliser cette décomposition, il suffit de regarder son cube et de repérer les cycles un à un. Ce n'est pas très dur.