Arêtes du milieu déplacées

Vos questions / remarques sur le cube classique 3x3x3
Les méthodes principales du 3x3x3 et leurs variantes
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aj19
Discret
Messages : 1
Enregistré le : mer. mai 01, 2019 10:06 am


Sur le cube 3x3x3, si on change l'orientation des 4 cubes arêtes du milieu, en les laissant bien chacun à sa place, mais en inversant les couleurs, il est parfaitement possible de reconstituer le cube entier.
Mais si on distribue ces 4 cubes arêtes entre eux, ailleurs, chacun à un endroit qu'il ne devrait pas occuper, toujours au milieu bien sûr, on arrive à une situation de blocage. Impossible de reconstituer le cube.
Est-il possible de trouver une explication à ça ?
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fabien63
Bavard intarissable
Messages : 71
Enregistré le : ven. juil. 13, 2018 4:50 pm


bin oui
*pour orientation :
tu ne peuux pas retourner un seul (ou tout nb impair) cube arréte. par contre on peut retourner 2 (ou tout nb pair) cubes arrétes.
Si tu change l'orientation des 4 cubes arêtes de la face du milieu--> 4 est pair, donc c'est possible de refaire le cube.

*pour le placement :
sur un cube tu ne peux pas faire de 2-cycle : tu ne peux pas échanger 2 cubes arrétes.
seul un 3-cycle est possible.
Si tu deplace les 4 cubes de la face du milieu au hasard. -->tu as 3 chances sur 4 de ne pas pouvoir refaire le cube.
Philfully
VIP au club des 1000
Messages : 2352
Enregistré le : mer. nov. 11, 2009 7:47 pm


L'explication a dû déjà être donnée quelque part sur le forum mais je peux la redonner rapidement.
C'est une question de "parité de permutation". En fait, c'est assez simple à comprendre : lorsque tu tournes une face d'un quart de tour, tes quatre arêtes font un cycle et c'est pareil pour les coins.

Pour être précis, ce sont des 4-cycles puisque ta rotation fait cycler 4 pièces. Un 4-cycle se décompose en 3 2-cycles (on appelle ça des transpositions). Par exemple, considère le cycle : (1 2 3 4) (écriture mathématique qui signifie : 1 est envoyé sur 2, 2 sur 3, 3 sur 4 et 4 sur 1) Tu peux décomposer ce cycle en : (3 4) suivi de (2 3) suivi de (1 2). En maths, on écrit la composée de cette façon : (1 2 3 4)=(1 2)(2 3)(3 4)

On remarque donc qu'un 4-cycle peut se décomposer en 3 transpositions. En fait, on peut prouver (ce n'est pas dur de s'en convaincre), qu'un 4-cycle peut se décomposer en un nombre impair de transpositions. En effet, tu peux ajouter des transpositions qui s'annulent, par exemple : (1 4) suivie d'elle-même qui n'aura donc aucun effet.

Ainsi donc, un 4-cycle se décompose en un nombre impair de transpositions, et donc c'est le cas pour celui des arêtes et pour celui des coins.

A présent, lorsque tu effectues plusieurs rotations sur ton cube, tu enchaînes plusieurs 4-cycles de coins et d'arêtes. Les nombres de transpositions permettant de décomposer chacun de ces cycles s'additionnent et ce qu'il faut remarquer, c'est que la parité reste la même pour les arêtes et les coins.

On arrive donc au résultat suivant : quand on mélange un cube, la parité de permutation (la parité du nombre de transpositions, donc) sur les arêtes est la même que celle sur les coins.

On a un résultat réciproque : quelles que soient les permutations de coins ou d'arêtes sur ton cube, si la parité est la même pour les deux permutations, alors le cube est résoluble (En maths, on dit simplement que l'ensemble des 3-cycles engendre le groupe des permutations paires : autrement dit, on peut atteindre toute permutation paire juste en enchaînant des 3-cycles bien choisis. On peut en conséquence montrer le résultat annoncé en distinguant le cas où les deux permutations sont paires et celui où les deux permutations sont impaires). Donc pour reprendre ton problème initial : tu n'as une permutation que sur les arêtes. Celle sur les coins est donc la permutation qui ne fait rien (on l'appelle l'identité en maths) et est une permutation paire. Donc pour que ton cube soit résoluble, il faut que tes quatre arêtes soient placées de façon à obtenir une permutation paire. Il y a deux types de possibilités : un 3-cycle (genre (1 2 3) ) ou une double transposition (genre (1 2)(3 4) ).
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